Un algorithme de test pour la connexité temporelle des graphes dynamiques de faible densité

Nous considérons le problème de tester si un graphe dynamique donné est temporellement connexe, i.e. s’il existe un chemin temporel (aussi appelé trajet) entre toute paire de sommets. Nous considérons une version simplifiée du problème où la dynamique est représentée par un graphe évolutif non-temporisé G = {G1,G2, ...,Gδ} dont l’ensemble des sommets est invariant et les arêtes sont orientées (arcs). Deux variantes du problème sont étudiées, selon que l’on autorise la traversée consécutive d’un seul ou d’un nombre illimité d’arcs à chaque étape (trajets stricts vs non-stricts). Dans le cas des trajets stricts, deux algorithmes pré-existants pour d’autres problèmes peuvent être adaptés. Cependant, nous montrons qu’une approche dédiée permet d’obtenir une meilleure complexité en temps que le premier algorithme dans tous les cas, et que le second dans certaines familles de graphes, notamment les graphes dont la densité est faible à tout instant (bien que potentiellement élevée à travers le temps). La complexité de notre algorithme est en O(δμn), où δ est le nombre d’étapes |G | et μ = max(|Ei|) est le nombre maximal d’arcs pouvant exister à un instant donné. Ce paramètre est à contraster avec m = | ∪Ei|, l’union de tous les arcs apparaissant au cours du temps. En effet, il n’est pas rare qu’un scénario de mobilité exhibe à la fois un μ petit et un m grand. Nous caractérisons les principales valeurs charnières de δ,μ et m permettant de décider quel algorithme utiliser. Dans le cas des trajets non-stricts, pour lesquels nous ne connaissons pas d’algorithme existant, nous montrons que notre algorithme peut être adapté pour répondre à la question, et ce, toujours en O(δμn). Nos deux algorithmes construisent graduellement la fermeture transitive des trajets stricts (notée G∗ st) ou non-stricts (notée G∗) à mesure que les arcs sont examinés. Ce sont des algorithmes de type streaming qui sont aussi capables d’arrêter leur exécution sitôt la connexité temporelle atteinte. Un sous-produit intéressant est de rendre G∗ st et G ∗ disponibles pour de futures requêtes d’accessibilité temporelle de type source-destination.